Jak Wyprowadź Integral objętość hipersfera

Tylkokoło jestzbiorem wszystkich punktów w dwuwymiarowej płaszczyźnie równej odległości od punktu centralnego , akula jestzbiorem wszystkich punktów w trzech wymiarach, w równej odległości od punktu centralnego , w matematyce istnieją analogiczne struktury , zwane hyperspheres , w pomieszczeniach większych niż trzech wymiarów , które sązbiorem wszystkich punktów jednakowo odległych od punktu centralnego . W związku z tym , podobnie jak w integralny objętości kuli w trzech wymiarach można otrzymać z rachunku , wraz z nią integralne większe ilości tych trójwymiarowych rysunków. Instrukcja
1

Określ układ współrzędnych , który będzie używany w błąd . Choć każdy układ współrzędnych może być wykonane do pracy ,wariacja na temat współrzędnych sferycznych biegunowych działa najlepiej . Jako przykład, w n-wymiarowej przestrzeni , określa się jako odległość R do punktu środkowego , teta kąta azymutu i phi1 , phi2 fi ... (n- 2 ) w układzie współrzędnych kątowych w zakresie od 0 do pi radianów .
2

Napisz na wolumin podstawowy integralną na całej hipersfera . To będzieintegralny z 0 do pewnego promienia R dla R, i na całości możliwych kątów dla każdej współrzędnej kątowej 0 do 2pi dla teta i 0 do pi dla pozostałych zmiennych. Całki wielokrotne podejmowane są z 1 w elemencie objętości .
3

Wymień element głośności z odpowiednimi warunkami liczonego od jakobian wyznacznika . Na przykład , dla hipersfera w czterech wymiarach , będzie to : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

Aby uzyskać więcej pomocy computing jakobian , patrz odpowiedni link zasobów .
4

Zapisz ostateczną odpowiedź po zażyciu każdego integralną z rzędu . W naszym przykładzie czterowymiarowej hipersferaostateczna odpowiedź jest : .

(Pi ^ 2/2 ) * promień ^ 4
Imperium